Просто выкиньте и дело с концом. Это дикое животное, причём здоровое и самостоятельное, его не нужно опекать — найдёт себе и пропитание, и укрытие от холодов. В природе часто гибнут мыши и крысы, нередко совсем молодые, это нормальный ход вещей — естественный отбор называется. Хотите кого-то спасти от голода и холода — заберите с улицы любую выброшенную домашнюю кошку или собаку, на дачах обычно парочка да ошивается, и так-то домашние животные уж точно имеют гораздо меньше шансов выжить зимой, чем дикая мышь в дачном сарайке.
Каким образом, я стесняюсь спросить, вы собирались передержать мышь/крысу до весны, если для вас купить живоловку — это целая проблема. Ну думать надо. Так-то пасюки — непростые животные, для которых как минимум нужна просторная крепкая клетка, защищённая от погрызов, а лучше ещё и с фальшдном. А дикие мыши и вовсе ну очень специфичный зверь для домашнего содержания. Как минимум, нужно подготовить клетку с шагом 0,5-0,6 см — в живоловке вечно держать не выйдет, а из простой клетки большинство диких мышей могут свалить между прутьев, даже не пригибаясь.