Ну, вообще-то это приём - экстренный, а состояние экстренное - это как-то не того...
может так:
29 декабря клиника работает до 20:00. После 20:00 - только экстренный прием животных в тяжелом состоянии
или
29 декабря клиника работает до 20:00. После 20:00 - только экстренный прием животных в состоянии, требующем неотложной медицинской помощи.